40 bài tập nâng cao Đại số 7

40 bài tập nâng cao Đại số 7 dành cho học sinh khá giỏi muốn tăng cường khả năng giải toán Đại số, ôn thi học sinh giỏi.

Bài 1. So sánh: $\displaystyle {{2009}^{{20}}}$

và $\displaystyle {{20092009}^{{10}}}$

Bài 2. Tính tỉ số $\displaystyle \frac{A}{B}$

, biết:

$\displaystyle {A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{{2007}}+\frac{1}{{2008}}+\frac{1}{{2009}}}$

$\displaystyle {B=\frac{{2008}}{1}+\frac{{2007}}{2}+\frac{{2006}}{3}+...+\frac{2}{{2007}}+\frac{1}{{2008}}}$

Bài 3. Cho x, y, z, t $\displaystyle \in$ N $\displaystyle ^{*}$ .

Chứng minh rằng: M = $\displaystyle \frac{x}{{x+y+z}}+\frac{y}{{x+y+t}}+\frac{z}{{y+z+t}}+\frac{t}{{x+z+t}}$ có giá trị không phải là số tự nhiên.

Bài 4. Tìm x; y $\displaystyle \in$ Z biết:

a. $25-y^{2}=8(x-2009)$

$\displaystyle {{x}^{3}}<span class="ql-right-eqno"> </span><span class="ql-left-eqno"> </span><img src="http://abcdonline.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-975a4f329f1c77c0bdac8a51ad61f96b_l3.png" height="40" width="296" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\[\displaystyle y$ = $ \displaystyle x\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> \displaystyle {{y}^{3}}$

+ 1997

c. x + y + 9 = xy – 7.

Bài 5. Tìm x biết :

a. $\displaystyle \left| {5(2x+3)} \right|+\left| {2(2x+3)} \right|+\left| {2x+3} \right|=16$

b. $\displaystyle \left| {{{x}^{2}}+\left| {6x-2} \right|} \right|={{x}^{2}}+4$ .

Bài 6. Chứng minh rằng : $\displaystyle \frac{3}{{{{1}^{2}}{{{.2}}^{2}}}}+\frac{5}{{{{2}^{2}}{{{.3}}^{2}}}}+\frac{7}{{{{3}^{2}}{{{.4}}^{2}}}}+...+\frac{{19}}{{{{9}^{2}}{{{.10}}^{2}}}}$ < 1

Bài 7. Cho n số x₁, x₂, …, x_n mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x₁.x₂ + x₂.x₃

+ …+ x_n.x₁ = 0 thì n chia hết cho 4.

Bài 8. Chứng minh rằng:

S = $\displaystyle \frac{1}{{{{2}^{2}}}}-\frac{1}{{{{2}^{4}}}}+\frac{1}{{{{2}^{6}}}}-...+\frac{1}{{{{2}^{{4n-2}}}}}-\frac{1}{{{{2}^{{4n}}}}}+...+\frac{1}{{{{2}^{{2002}}}}}-\frac{1}{{{{2}^{{2004}}}}}$ < 0,2

Bài 9. Tính giá trị của biểu thức A = $\displaystyle {{x}^{n}}$ + $\displaystyle \frac{1}{{{{x}^{n}}}}$ giả sử $\displaystyle {{x}^{2}}+x+1=0$ .

Bài 10. Tìm max của biểu thức: $\displaystyle \frac{{3-4x}}{{{{x}^{2}}+1}}$ .

Bài 11. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng :

D = $\displaystyle \frac{x}{{2x+y+z}}+\frac{y}{{2y+z+x}}+\frac{z}{{2z+x+y}}\le \frac{3}{4}$

Bài 12. Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức :

A(x) = ( 3 – 4x + x² )²⁰⁰⁴ .( 3 + 4x + x²)²⁰⁰⁵

Bài 13. Tìm các số a, b, c nguyên dương thỏa mãn : $\displaystyle {{a}^{3}}+3{{a}^{2}}+5={{5}^{b}}$ và a + 3 = $\displaystyle {{5}^{c}}$

Bài 14. Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức :

$\displaystyle {{x}^{{2005}}}-2006{{x}^{{2004}}}+2006{{x}^{{2003}}}-2006{{x}^{{2002}}}+...-2006{{x}^{2}}+2006x-1$

Bài 15. Rút gọn biểu thức: $\displaystyle N = \frac{{x\left| {x-2} \right|}}{{{{x}^{2}}+8x-20}}+12x-3$

Bài 16. Trong 3 số x, y, z có 1 số dương, 1 số âm và một số 0. Hỏi mỗi số đó thuộc loại nào biết : $\displaystyle \left| x \right|={{y}^{3}}-{{y}^{2}}z$

Bài 17. Tìm hai chữ số tận cùng của tổng sau:

$\displaystyle B = 3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+{{3}^{4}}+...+{{3}^{{2009}}}$

Bài 18. Cho 3x – 4y = 0. Tìm min của biểu thức: $\displaystyle M = {{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ .

Bài 19. Tìm x, y, z biết : $\displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{2}+\frac{{{{y}^{2}}}}{3}+\frac{{{{z}^{2}}}}{4}=\frac{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}{5}$ .

Bài 20. Tìm x, y biết rằng : $\displaystyle \ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}+\frac{1}{{{{y}^{2}}}}=4$

Bài 21. Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương.

Bài 22. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương.

Bài 23. Chứng minh rằng nếu các chữ số a, b, c thỏa mãn điều kiện $\displaystyle \overline{{ab}}:\overline{{cd}}=a:c$ thì $\displaystyle \overline{{abbb}}:\overline{{bbbc}}=a:c$ .

Bài 24. Tìm phân số $\displaystyle \frac{m}{n}$ khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng $\displaystyle \frac{m}{n}=\frac{{m+k}}{{nk}}$ .

Bài 25. Cho hai số tự nhiên a và b (a < b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.

Bài 26. Chứng minh rằng: A = 1 + 3 + 5 + 7 + … + n là số chính phương (n lẻ).

Bài 27. Tìm n biết rằng: n $\displaystyle ^{3}$ – n $\displaystyle ^{2}$ + 2n + 7 chia hết cho n $\displaystyle ^{2}$ + 1.

Bài 28. Chứng minh rằng: B = $\displaystyle {{2}^{{{{2}^{{2n+1}}}}}}+3$ là hợp số với mọi số nguyên dương n.

Bài 29. Tìm số dư khi chia $\displaystyle \displaystyle {{({{n}^{3}}-1)}^{{111}}}.{{({{n}^{2}}-1)}^{{333}}}$ cho n.

Bài 30. Tìm số tự nhiên n để 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ chia hết cho 5.

Bài 31.

a. Chứng minh rằng: Nếu a không là bội số của 7 thì a⁶ – 1 chia hết cho 7.

b. Cho f(x + 1)(x² – 1) = f(x)(x² +9) có ít nhất 4 nghiệm.

c. Chứng minh rằng: a⁵ – a chia hết cho 10.

Bài 32. Tính giá trị của biểu thức: A = $\displaystyle 5{{y}^{4}}+7x-2{{z}^{5}}$ tại (x² – 1) + (y – z)² = 16.

Bài 33. Chứng minh rằng:

a. 0,5 ( 2007²⁰⁰⁵ – 2003²⁰⁰³ ) là một số nguyên.

b. M = $\displaystyle \frac{{{{{1986}}^{{2004}}}-1}}{{{{{1000}}^{{2004}}}-1}}$ không thể là số nguyên.

c. Khi viết dưới dạng thập phân thì số hữu tỉ $\displaystyle {{\left( {\frac{9}{{11}}-0,81} \right)}^{{2004}}}$ có ít nhất 4000 chữ số 0 đầu tiên sau dấu phẩy.

Bài 34. So sánh A và B biết :

A = $\displaystyle \frac{1}{{{{{101}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{102}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{103}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{104}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{105}}^{2}}}}$ và B = $\displaystyle \frac{1}{{{{2}^{2}}{{{.3.5}}^{2}}.7}}$ .

Bài 35. Tìm x biết :

a. $\displaystyle \frac{{{{7}^{{x+2}}}+{{7}^{{x+1}}}+{{7}^{x}}}}{{57}}=\frac{{{{5}^{{2x}}}+{{5}^{{2x+1}}}+{{5}^{{2x+3}}}}}{{131}}$

b. (4x – 3)⁴ = (4x – 3)²

Bài 36. Ba ô tô cùng khởi hành từ A đi về phía B. Vận tốc của ô tô thứ nhất kém vận tốc của ô tô thứ hai là 3km/h. Thời gian ô tô thứ nhất, thứ hai, thứ ba đi hết quảng đường AB lần lượt là 40 phút, $\displaystyle \frac{5}{8}$ giờ, $\displaystyle \frac{5}{9}$ giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô.

Bài 37. Chứng minh rằng $\displaystyle \sqrt{2}$ + a (a $\displaystyle \in$ Z⁺) là số vô tỉ.

Bài 38. Cho các số thực a, b sao cho tập hợp $\displaystyle \left\{ {} \right.$ a² + a ; b $\displaystyle \left. {} \right\}$ và $\displaystyle \left\{ {} \right.$ b² + b ; b $\displaystyle \left. {} \right\}$ bằng nhau. Chứng minh rằng : a = b.

Bài 39. Cho năm số tự nhiên a, b, c, d, e thỏa mãn : a^b = b^c = c^d = d^e = e^a.

Chứng minh rằng : a = b = c = d = e.

Bài 40. Tìm x, y biết:

a. 5^x – 17^y = 2^xy và x – y = 5; 2x + 3^y = xy.

b. x + 2y – 3z = 5^xyz và (x – 2y)(y + 7) – x = 19² .( xyz > 0)