Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) và bài tập áp dụng

Đây là bài thứ 13 of 16 trong chuyên đề Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Côsi hay bđt Cauchy là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với học sinh THCS và THPT ở nước ta.

Bất đẳng thức Côsi có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Ngoài ra bất đẳng thức Cauchy còn có tên gọi là bất đẳng thức AM-GM.

Học sinh trung học cơ sở làm quen với bất đẳng thức Cosi từ lớp 8 và sử dụng nhiều ở lớp 9 trong các bài điểm 10.

1) Dạng tổng quát của bất đẳng thức Côsi

Cho $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\ldots {{x}_{n}}$

là các số thực dương ta có:

– Dạng 1: $\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots +{{x}_{n}}}}{n}\ge \sqrt{{{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}\cdots {{x}_{n}}}}$

– Dạng 2: $\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots +{{x}_{n}}\ge n\cdot \sqrt[n]{{{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}\cdots }}$

– Dạng 3: $\displaystyle {{\left( {\frac{{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots +{{x}_{n}}}}{n}} \right)}^{n}}\ge {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}\cdots {{x}_{n}}$

– Dạng 4: $\displaystyle \dfrac{1}{{x_{1}}}+\dfrac{1}{{x_{2}}}+\ldots +\dfrac{1}{{x_{n}}}^{\text{3}}\ge \dfrac{{n^{2}}}{{x_{1}+x_{2}+\ldots x_{n}}}$

– Dạng 5: $\displaystyle \left( {x_{1}+x_{2}+\ldots x_{n}} \right)\left( {\dfrac{1}{{x_{1}}}+\dfrac{1}{{x_{2}}}+\ldots +\dfrac{1}{{x_{n}}}} \right)\ge n^{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle {{x}_{1}}={{x}_{2}}=\cdots ={{x}_{n}}$

2) Dạng đặc biệt của bất đẳng thức Côsi

Là các trường hợp đặc biệt của dạng tổng quát ở trên khi n=2, n=3.

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi)

3) Hệ quả của bất đẳng thức Côsi

+ $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy;2\left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)\ge {{\left( {x+y} \right)}^{2}};\sqrt{{2\left( {x+y} \right)}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}$

+ $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy\ge \frac{{3{{{\left( {x+y} \right)}}^{2}}}}{4}$

+ $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge xy+yz+zx$

+ $\displaystyle 3\left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)\ge {{\left( {x+y+z} \right)}^{2}}\ge 3\left( {xy+yz+zx} \right)$

+ $\displaystyle {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{y}^{2}}\ge xyz\left( {x+y+z} \right)+3\left( {{{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}} \right)\ge {{\left( {xy+yz+zx} \right)}^{2}}\ge 3xyz\left( {x+y+z} \right)$

4) Chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Côsi

Khi chứng minh bất đẳng thức áp dụng Cô si các em phải xác định giá trị của biến bằng bao nhiêu thì dấu bằng xảy ra, giá trị đó là điểm rơi. Nếu không xác định đúng mà đã vội áp dụng BĐT Cauchy thì sẽ dẫn đến việc làm sai bài toán.