Các bài toán sử dụng tỉ số diện tích hai tam giác – Toán lớp 5

Đây là bài thứ 16 of 28 trong chuyên đề Toán nâng cao lớp 5

Sử dụng yếu tố tỉ số diện tích của hai tam giác là dạng toán thường gặp trong các đề thi vào lớp 6 ở các trường tổ chức thi tuyển.

Để làm được dạng bài tập toán nâng cao lớp 5 này, ngoài việc phải nhớ các công thức tính đường cao, diện tích của tam giác đã học các em cần nắm được hai điều sau:

– Hai tam giác có chung đáy thì tỉ số diện tích bằng tỉ số 2 đường cao tương ứng.
– Hai tam giác có chung đường cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số 2 đáy tương ứng.

Các em xem những ví dụ có lời giải dưới đây để hiểu rõ hơn về cách làm, từ đó áp dụng vào giải các bài tập tương tự.

Các ví dụ kèm lời giải:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có diện tích 150cm² . M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. Nối MN. Tính diện tích tam giác CMN ?

Giải:

Các bài toán sử dụng tỉ số diện tích hai tam giác - Toán lớp 5

Ta có:

S_ABC = 2 x S_AMC (chung chiều cao hạ từ A xuống đáy BC và đáy BC = 2 x MC)

Từ đó ta có: S_AMC = 150 : 2 = 75 (cm²)

Ta có:S_AMC = 2 x S_CMN (chung chiều cao hạ từ M xuống đáy AC và đáy AC = 2 x NC)

Từ đó ta có: S_CMN = 75 : 2 = 37,5 (cm²)

Đáp số: 37,5 cm²

Ví dụ 2: (Thi vào lớp 6 trường THCS chuyên Ngoại Ngữ 2019 – 2020)

Cho hình vẽ. Tính tỉ số diện tích 2 tam giác BDF và AEF ?

Các bài toán sử dụng tỉ số diện tích hai tam giác - Toán lớp 5

Giải:

Các bài toán sử dụng tỉ số diện tích hai tam giác - Toán lớp 5

Ta có: $\displaystyle AE=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{1}{3}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\times EC$ nên $\displaystyle {{S}_{{ABF}}}=\frac{1}{3}\times {{S}_{{BFC}}}$

Vậy $\displaystyle {{S}_{{ABF}}}={{S}_{{BDF}}}$ (1)

Ta có: DC = 2 x BD nên $\displaystyle {{S}_{{ACF}}}=2\times {{S}_{{ABF}}}$

EC = 4 x AE nên $\displaystyle {{S}_{{ACF}}}=4\times {{S}_{{AEF}}}$

Vậy $\displaystyle 4\times {{S}_{{AEF}}}=2\times {{S}_{{ABF}}}$ hay $\displaystyle 2\times {{S}_{{AEF}}}={{S}_{{ABF}}}$ (2)

Từ (1) và (2): $\displaystyle {{S}_{{ABF}}}=2\times {{S}_{{AEF}}}$

Vậy tỉ số là 2

Ví dụ 3: (Thi vào lớp 6 trường Hà Nội Amsterdam 2013 – 2014)

Cho hình chữ nhật ABCD, F là một điểm bất kì trên cạnh AD, BF cắt CD kéo dài tại điểm E. Nối điểm A với điểm E. Tính diện tích tam giác AEF, biết AF = 3cm, BC = 5cm, AB = 7 cm ?

Giải:

Các bài toán sử dụng tỉ số diện tích hai tam giác - Toán lớp 5

Ta có: $\displaystyle {{S}_{{ABE}}}={{S}_{{ABC}}}=\frac{1}{2}\times AB\times BC=\frac{1}{2}\times 7\times 5=17,5\left( {c{{m}^{2}}} \right)$

$\displaystyle {{S}_{{ABF}}}=\frac{1}{2}\times AB\times AF=10,5\left( {c{{m}^{2}}} \right)$

Suy ra diện tích tam giác AEF là:

$\displaystyle {{S}_{{AEF}}}={{S}_{{ABE}}}-{{S}_{{ABF}}}=17,5-10,5=7\left( {c{{m}^{2}}} \right)$

Đáp số: 7 cm².

Ví dụ 4:(Thi vào lớp 6 trường Hà Nội Amsterdam 2011 – 2012)

Cho tam giác ABC biết BM = MC; CN = 3 x NA (như hình vẽ) và diện tích tam giác AEN bằng 27 cm².Tính diện tích tam giác ABC ?

Giải:

Nối E với C và B với N.

Ta có: CN = 3 x NA nên $\displaystyle {{S}_{{CEN}}}=3\times {{S}_{{AEN}}}=3\times 27=81\left( {c{{m}^{2}}} \right)$

Do BM = MC nên $\displaystyle {{S}_{{EMC}}}={{S}_{{EMB}}}$ và $\displaystyle {{S}_{{BEN}}}={{S}_{{ENC}}}=81\left( {c{{m}^{2}}} \right)$

$\displaystyle {{S}_{{ABN}}}={{S}_{{BEN}}}-{{S}_{{AEN}}}=81-27=54\left( {c{{m}^{2}}} \right)$

Diện tích tam giác ABC là:

54 x 4 = 216 (cm² )

Đáp số: 216 cm²

Ví dụ 5:(Thi vào lớp 6 trường Archimedes Academy 2019 – 2020)

Cho hình vẽ bên biết $\displaystyle {{S}_{1}}=12c{{m}^{2}}$ . Tính $\displaystyle {{S}_{2}}$

Các bài toán sử dụng tỉ số diện tích hai tam giác - Toán lớp 5

Giải:

Các bài toán sử dụng tỉ số diện tích hai tam giác - Toán lớp 5

$\displaystyle {{S}_{{ABQ}}}={{S}_{1}}:\frac{2}{3}=12:\frac{2}{3}=18\left( {c{{m}^{2}}} \right)$

$\displaystyle {{S}_{{AQC}}}=2\times {{S}_{{ABQ}}}=2\times 18=36\left( {c{{m}^{2}}} \right)$

$\displaystyle {{S}_{{AQN}}}=\frac{1}{3}\times {{S}_{{AQC}}}=\frac{1}{3}\times 36=12\left( {c{{m}^{2}}} \right)$

$\displaystyle {{S}_{{AMN}}}={{S}_{{AMQ}}}+{{S}_{{AQN}}}=12+12=24\left( {c{{m}^{2}}} \right)$

$\displaystyle {{S}_{{ABC}}}=\frac{3}{2}\times \frac{3}{1}\times {{S}_{{AMN}}}=\frac{9}{2}\times 24=108\left( {c{{m}^{2}}} \right)$

$\displaystyle {{S}_{{ABP}}}=\frac{1}{3}\times {{S}_{{ABC}}}=\frac{1}{3}\times 108=36\left( {c{{m}^{2}}} \right)$

$\displaystyle {{S}_{2}}={{S}_{{ABC}}}-{{S}_{{ABP}}}-{{S}_{{AQN}}}=108-36-12=60\left( {c{{m}^{2}}} \right)$

Một số bài tập hình học nâng cao lớp 5

* Chú ý: Các bài tập dưới đây thường có trong đề thi tuyển sinh vào lớp 6 các trường THCS chuyên, chọn, chất lượng cao.

Bài 1: (Thi vào lớp 6 trường Archimedes Academy 2019 – 2020 – đợt 2)

Cho tam giác với các tỷ lệ như hình.

Biết $\displaystyle {{S}_{3}}-{{S}_{1}}=84c{{m}^{2}}$ . Tính $\displaystyle {{S}_{4}}-{{S}_{2}}$

Các bài toán sử dụng tỉ số diện tích hai tam giác - Toán lớp 5

Bài 2: (Thi vào lớp 6 trường Hà Nội Amsterdam 2010 – 2011)

Cho tam giác ABC có diện tích là 180 cm². Biết AB = 3 x BM; AN = NP=PC; QB=QC. Tính diện tích tam giác MNPQ ? (xem hình vẽ)

Các bài toán sử dụng tỉ số diện tích hai tam giác - Toán lớp 5

Bài 3: (Thi vào lớp 6 trường Hà Nội Amsterdam 2006 – 2007)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 18cm². Biết DA = 2 x DB ; EC = 3 x EA ; MC = MB (hình vẽ). Tính tổng diện tích hai tam giác MDB và MCE ?

Các bài toán sử dụng tỉ số diện tích hai tam giác - Toán lớp 5

Bài 4: (Thi vào lớp 6 trường Hà Nội Amsterdam 2004 – 2005)

Trong hình vẽ bên có NA = 2 x NB; MC = 2 x MB và diện tích tam giác OAN là 8cm². Tính diện tích BNOM ?

Các bài toán sử dụng tỉ số diện tích hai tam giác - Toán lớp 5

Bài 5:(Thi vào lớp 6 trường Hà Nội Amsterdam 2001 – 2002)

Cho tam giác ABC và các điểm D, E, G, H sao cho $\displaystyle BD=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{1}{3}\times AB$ ; $\displaystyle AE=CG=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{1}{3}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\times AC$ ; $\displaystyle CH=\frac{1}{3}\times BC$ . Tính diện tích hình BDEGH ? ( Biết diện tích của tam giác ABC là 180cm² )