Cách giải phương trình nghiệm nguyên

Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên là một trong những chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp 2 dành cho học sinh khá giỏi.

Ở bài viết này, Gia sư Tiến Bộ chia sẻ với các em một số phương pháp thường dùng để giải tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên:

* Chú ý: Tùy từng bài mà các em áp dụng một hay kết hợp nhiều phương pháp để giải bài toán PT nghiệm nguyên.

1. Sử dụng tính chẵn lẻ để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn: y² – 2x² = 1

Hướng dẫn:

Ta có y² – 2x² = 1 ⇒ y²= 2x² +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)² = 2x² + 1

⇔ x² = 2 k² + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: (2x + 5y + 1)(2^|x| + y + x² + x) = 105

Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2^|x| + y + x² + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2^|x|+ y + x² + x = 2^|x| + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2^|x| lẻ ⇒ 2^|x| = 1 ⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình ta được

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y² + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y = $\displaystyle -\frac{26}{5}$

( loại)

Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

2. Dùng cách phân tích để giải PT nghiệm nguyên

Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:

g₁(x₁, x₂,…., x_n) h (x₁, x₂,…., x_n) = a

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x⁴ + 4x³+ 6x²+ 4x = y²

Hướng dẫn: Ta có: x⁴ + 4x³+ 6x²+ 4x = y² ⇔ x⁴ +4x³+6x²+4x +1- y²=1

⇔ (x+1)⁴ – y² = 1 ⇔ [(x+1)² –y] [(x+1)²+y]= 1

⇔ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(x+1)_{{}}^{2}-y=1\\(x+1)_{{}}^{2}+y=1\end{array} \right.$

hoặc $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(x+1)_{{}}^{2}-y=-1\\(x+1)_{{}}^{2}+y=-1\end{array} \right.$

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l}1+y=1-y\\-1+y=-1-y\end{array} \right.$

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)² = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

3. Dùng phương pháp cực hạn để giải PT nghiệm nguyên

Sử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

Hướng dẫn:

Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

⇔ $2=\frac{5}{y z t}+\frac{5}{x z t}+\frac{5}{x y t}+\frac{5}{x y z}+\frac{10}{x y z t} \leq \frac{30}{t^{3}} \Rightarrow t^{3} \leq 15 \Rightarrow t=1$ hoặc $t=2$

* Với $t=1$ ta có $5(x+y+z+1)+10=2$ xyz

$\Leftrightarrow 2=\frac{5}{y z}+\frac{5}{x z}+\frac{5}{x y}+\frac{15}{x y z} \leq \frac{30}{z^{2}} \quad \Rightarrow z^{2} \leq 15 \Rightarrow z=\{1 ; 2 ; 3\}$

Nếu $z=1$ có $5(x+y)+20=2xy\Leftrightarrow (2x-5)(2y-5)=65$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=35 \\ y=3\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=9 \\ y=5\end{array}\right.$

Ta được nghiệm ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của chúng

Với $z=2 ; z=3$ phương trình không có nghiệm nguyên

* Với $\mathrm{t}=2$ thì $5(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})+20=4 \mathrm{xyz} \Leftrightarrow 4=\frac{5}{x y}+\frac{5}{y z}+\frac{5}{x z}+\frac{20}{x y z} \leq \frac{35}{z^{2}}$

$\Rightarrow z^{2} \leq \frac{35}{4} \leq 9 \Rightarrow z=2(\text { vi } z \geq t \geq 2) \Rightarrow(8 x-5)(8 y-5)=265$

Do x ≥ y ≥ z ≥ 2 nên 8x – 5 ≥ 8y – 5 ≥ 11

⇒ (8x – 5) (8y – 5) = 265 vô nghiệm

vậy nghiệm của phương trình là bộ (x, y, z)

= ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị

4. Phương pháp loại trừ để giải PT nghiệm nguyên

Khẳng định nghiệm rồi loại trừ các giá trị còn lại của ẩn.

Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

1! + 2! + … + x! = y²

Hướng dẫn:

Với x ≥ 5 thì x! có tận cùng là 0 và 1! + 2! + 3! + 4! Có tận cùng là 3

Þ 1! + 2! + … + x! có tận cùng là 3, không là số chính phương (loại)

Vậy x < 5 mà x nguyên dương nên: x = {1;2;3;4}

Thử vào phương trình ta được (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) là thoả mãn.

Ví dụ 6: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: y² + y = x⁴ + x³ + x² + x

Hướng dẫn:

Ta có : y² + y = x⁴ + x³ + x² + x ⇔ 4 y²+4y+1=4 x⁴ + 4 x³ + 4x² + 4x+1

⇒ (2x² + x ) ² – (2y + 1)² = (3x + 1) (x +1)

hay (2x² + x + 1) ² – (2y+ 1)² = x(x-2)

Ta thấy:

Nếu x> 0 hoặc x< – 1 thì (3x + 1) (x +1) > 0

Nếu x > 2 hoặc x < -1 thì x (x-2) > 0

⇒ Nếu x>2 hoặc x< 1 thì (2x² + x) <(2y+1)² < (2x² + x + 1) ² (loại)

⇒ -1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x = 0, 1, -1, 2

Xét x = 2 ⇒ y² + y =30 ⇒ y = 5 hoặc y= -6

Xét x= 1 ⇒ y² + y = 4 (loại)

Xét x = 0 ⇒ y² + y = 0 ⇒ y (y + 1) = 0 ⇒ y = 0 hoặc y = -1

Xét x = -1 ⇒ y² + y = 0 ⇒ y = 0 hoặc y= -1

Vậy nghệm nguyên của phương trình là:

(x,y) = (2, 5); (2, -6); (0, 0); (0, -1); (-1;0); (-1, -1)

5. Dùng chia hết và có dư để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x² – 2y² = 5

Hướng dẫn:

Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

và x² chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4

y² chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4 ⇒ 2y² chia cho 5 dư 2 hoặc 3

⇒ x² – 2 y² chia cho 5 dư ±1 hoặc ±2 (loại)

Vậy phương trình x² – 2y² = 5 vô nghiệm.

Ví dụ 8: Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn

x² + 3^y = 3026

Hướng dẫn:

Xét y = 0 ⇒ x² + 3⁰ = 3026 ⇒ x² = 3025

mà xº ∈ N ⇒ x = 55

Xét y > 0 ⇒ 3^y chia hết cho 3, x² chia cho 3 dư 0 hoặc 1

⇒ x² + 3^ychia cho 3 dư 0 hoặc 1

mà 3026 chia cho 3 dư 2 (loại)

Vậy nghiệm (x,y) = (55,0)

6. Sử dụng tính chất của số nguyên tố để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 9: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn: x^y + 1 = z

Hướng dẫn:

Ta có x, y nguyên tố và x^y + 1 = z ⇒ z > 3

Mà z nguyên tố ⇒ z lẻ ⇒ x^y chẵn ⇒ x chẵn ⇒ x = 2

Xét y = 2 ⇒ 2² + 1 = 5 là nguyên tố ⇒ z = 5 (thoả mãn)

Xét y> 2 ⇒ y = 2k + 1 (k ∈ N) ⇒ 2^2k+1 + 1 = z ⇒ 2. 4^k + 1 = z

Có 4 chia cho 3 dư 1 ⇒ (2.4^k+1) chia hết cho 3 ⇒ z chia hết cho 3 không thỏa mãn (loại)

Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn

7. Đưa về dạng tổng để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x² + y² – x – y = 8

Hướng dẫn:

Ta có x² + y² –x – y = 8 ⇒ 4 x² + 4 y² – 4 x –4y = 32

⇔ (4x² – 4x +1) + (4y² – 4y + 1) = 34 ⇔ (2x – 1)² + (2y – 1)² = 34

Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất 1 dạng phân tích thành tổng của 2 số chính phương 3² và 5²

Do đó ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}|2x-1|=3\\|2y-1|=5\end{array} \right.$ hoặc $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}|2x-1|=5\\|2y-1|=3\end{array} \right.$

Giải ra ta được (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) và các hoán vị của nó.

Ví dụ 11: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x² – 4xy + 5y² = 169

Hướng dẫn: Ta có x² – 4xy + 5y² = 169 ⇔ (x – 2y)² + y² = 169

Ta thấy 169 = 0² + 13² = 5² + 12²

Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Giải ra ta được (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0)

8. Dùng phương pháp lùi vô hạn để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x² – 5y² = 0

Hướng dẫn:

Giả sử x₀, y₀ là nghiệm của phương trình x² – 5y² = 0

ta có $x_{0}^{2}-5 y_{0}^{2}=0 \Rightarrow x_{0}: 5$ đặt $x_{0}=5 x_{1}$

Ta có $\left(5 x_{1}\right)^{2}-5 y_{0}^{2}=0 \Leftrightarrow 5 x_{1}^{2}-y_{0}^{2}=0$

$\Rightarrow \mathrm{y}_{0}: 5$ dăt $\mathrm{y}_{0}=5 \mathrm{y}_{1} \Rightarrow \mathrm{x}_{1}^{2}-5 \mathrm{y}_{1}^{2}=0$

Vây nếu (xo;yo) là nghiệm của phương trình đã cho thì $\left(\frac{x_{0}}{5}, \frac{y_{0}}{5}\right)$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Cứ tiếp tục lập luận như vậy $\left(\frac{x_{0}}{5^{k}}, \frac{y_{0}}{5^{k}}\right)$ với k nguyên dương bất kỳ cũng là nghiệm của phương trình. Điều này xảy ra khi $x_{0}=y_{0}=0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = y = 0.

Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x² + y² + z² = x² y²

Hướng dẫn:

Nếu x, y đều là số lẻ ⇒ x² , y² chia cho 4 đều dư 1

Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Đặt x = 2x₁, y = 2y₁, z = 2z₁

Ta có x+ y+z = xy

lập luận tương tự ta có x + y + z = 16 xy

Quá trình này cứ tiếp tục ta thấy (x₁, y₁, z₁ ) là nghiệm của phương trình thì

$\displaystyle \left( \frac{{{x}_{1}}}{2_{{}}^{k}},\frac{{{y}_{1}}}{2_{{}}^{k}},\frac{{{z}_{1}}}{2_{{}}^{k}} \right)$ là nghiệm của phương trình với k nguyên dương

⇒ x₁ = y₁ = z₁ = 0

Vậy phương trình có nghiệm là (0, 0, 0)

9. Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 để giải PT nghiệm nguyên

Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của tham số.

Ví dụ 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x² + y² + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0

Hướng dẫn:

Ta có PT: 3x² + y² + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0

⇒ y² + (4x + 2)y + 3 x² + 4x + 5 = ) (*) coi x là tham số giải phương trình bậc 2 pt (*) ẩn y ta có

$y=-(2 x+1) \pm \sqrt{\Delta_{x}}$