Đề thi HSG Toán lớp 9 thành phố Hà Nội 2012 – 2013

Đây là bài thứ 145 of 172 trong chuyên đề Đề thi HSG Toán 9

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Sở giáo dục và đào tạo thành phố Hà Nội, năm học 2012 – 2013. Thời gian làm bài: 150 phút.

Hình thức thi Tự luận gồm 5 câu, trong đó 4 câu Đại số và 1 câu Hình học.

Câu 1. (5 điểm)

a) Tìm các số thực $a, b$

sao cho đa thức $4 x^{4}-11 x^{3}-2 a x^{2}+5 b x-6$

chia hết cho đa thức $x^{2}-2 x-3$

b) Cho biểu thức $P=\left(a^{2013}-8 a^{2012}+11 a^{2011}\right)+\left(b^{2013}-8 b^{2012}+11 b^{2011}\right)$ . Tính giá trị của $P$ với $\displaystyle a=4+\sqrt{5}$ và $\displaystyle b=4-\sqrt{5}$ .

Câu 2. (5 điểm)

a) Giải hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{r}} {6{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-xy+5x+5y-6=0} \\ {20{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-28x+9=0} \end{array}} \right.$

b) Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn $6 x^{2}+10 y^{2}+2 x y-x-28 y+18=0$

Câu 3. (2 điểm) Cho 3 số thực dương $a, b, b$ thỏa mãn $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$ . Chứng minh:

$\displaystyle \frac{27 a^{2}}{c\left(c^{2}+9 a^{2}\right)}+\frac{b^{2}}{a\left(4 a^{2}+b^{2}\right)}+\frac{8 c^{2}}{b\left(9 b^{2}+4 c^{2}\right)} \geq \frac{3}{2}$

Câu 4. (7 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ và $AB < AC$ . Các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ gặp nhau tại $H$ . Gọi $I$ là giao điểm hai đường thẳng $EF$ và $CB$ . Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại $M$ ( $M$ khác điểm $A$ ).

1. Chứng minh năm điểm $A, M , F , H , E$ cùng nằm trên một đường tròn.

2. Gọi $N$ là trung điểm của $BC$ . Chứng minh ba điểm $M , H , N$ thẳng hàng.

3. Chứng minh $BM.AC + AM.BC = AB.MC$

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho $2013$ điểm $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{2013}$ và đường tròn $(O; 1)$ tùy ý cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh trên đường tròn $(O; 1)$ đó, ta luôn có thể tìm được một điểm $M$ sao cho $M A_{1}+M A_{2}+\cdots+M A_{2013} \geq 2013$ .