Giải bài toán cực trị bằng tích vô hướng của 2 vectơ

Phương pháp giải bài toán cực trị bằng tích vô hướng

Sử dụng tích vô hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị về biểu thức độ dài, ví dụ: $S=M{{I}^{2}}+c$

, với c là hằng số và I cố định.

Khi đó $\displaystyle {{S}_{Min}}=c$

, đạt được khi

MI=0 ⇔ M≡I.

Ứng dụng tích vô hướng giải các bài toán cực trị

Bài toán 1: Cho $\Delta$

ABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ‎ý.

a. CMR: $\displaystyle \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=0$ .

b. CMR: $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}+3M{{G}^{2}}$ , từ đó suy ra vị trí của M để $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

a. Ta có:

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}$

$=\overrightarrow{MA}.(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})+\overrightarrow{MB}.(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC})+\overrightarrow{MC}.(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA})=0$

b. Ta có:

$\begin{array}{l}M{{A}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}={{(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})}^{2}}=M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}\\M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})}^{2}}=M{{G}^{2}}+G{{B}^{2}}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}\\M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MC}}^{2}}={{(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})}^{2}}=M{{G}^{2}}+G{{C}^{2}}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}\end{array}$

Cộng vế theo vế ta được:

$\begin{array}{l}M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{C}^{2}}+\overrightarrow{MG}.(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})\\\end{array}$

$=3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}$ (vì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ )

Từ đó suy ra $\displaystyle M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M{{G}^{2}}=0\Leftrightarrow M\equiv I$

Bài toán 2: Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tùy ‎ý.

a. CMR: $M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=M{{\text{D}}^{2}}-2(O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}})$

b. Giả sử M di động trên đường tròn (d), xác định vị trí của M để $M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

a. Ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO} \\\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO} \\\end{matrix} \right.\Rightarrow {{(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})}^{2}}={{(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD})}^{2}}$

$\Leftrightarrow M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} M{{\text{D}}^{2}}+2(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD})=0$ (1)

Ta xét:

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}).(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM})-(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}).(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OM})$

$=-(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}).(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}).(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OM})$