Giải phương trình vô tỉ bằng vectơ hóa

Có nhiều phương trình vô tỉ cơ bản và khó có thể giải bằng cách vectơ hóa tức là đặt ẩn bằng vectơ để giải.

Phương pháp vectơ dành cho học sinh THPT từ lớp 10 tới lớp 12.

Lý thuyết cần nhớ

Cho \vec{a}=\left(x_{1} ; y_{1}\right) ; \vec{b}=\left(x_{2} ; y_{2}\right) \Rightarrow|\vec{a}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2} \vec{a} \cdot \vec{b}}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}

Một số kiến thức thường dùng:

\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|(1)

|\vec{a}|+|\vec{b}| \geq|\vec{a}+\vec{b}|(2)

|\vec{a}+\vec{b}| \geq|\vec{a}|-|\vec{b}|(3)

(1), (2) xảy ra khi \vec{a} và \vec{b} cùng hướng

(3) xảy ra khi \vec{b}=\overrightarrow{0} hoăc \vec{a} và \vec{b} ngược hướng

Ví dụ giải phương trình vô tỉ bằng vectơ:

Ví dụ 1: Giải phương trình: \sqrt{x^{2}-2 x+5}+\sqrt{x^{2}+2 x+10}=29

Giải

Xét \vec{u}=(1-x ; 2) ; \vec{v}=(1+x ; 3)

Ta có:
|\vec{u}|=\sqrt{(1-x)^{2}+2^{2}}=\sqrt{x^{2}-2 x+5}

|\vec{v}|=\sqrt{(1+x)^{2}+3^{2}}=\sqrt{x^{2}+2 x+10}

\vec{u}+\vec{v}=(2 ; 5) \Rightarrow|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{29}

Ta có: |\vec{u}|+|\vec{v}| \geq|\vec{u}+\vec{v}| \Leftrightarrow V T \geq V P

Đẳng thức xảy ra ⇔ \vec{u}, \vec{v} cùng hướng

\displaystyle \frac{{1-x}}{2}=\frac{{1+x}}{3}\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}

Ví dụ 2: Giải phương trình: \sqrt{9 x^{3}-18 x^{2}}+\sqrt{36 x^{2}-9 x^{3}}=9+x^{2}

Giải

Đặt \vec{u}=(1 ; 1) ; \vec{v}=\left(\sqrt{9 x^{3}-18 x^{2}} ; \sqrt{36 x^{2}-9 x^{3}}\right)

Ta có |\vec{u}|=\sqrt{2} ;|\vec{v}|=\sqrt{9 x^{3}-18 x^{2}+36 x^{2}-9 x^{3}}=3 \sqrt{2} . x

\Rightarrow|\vec{u}| \cdot|\vec{v}|=6 x

Ta có: 9+x^{2}=\vec{u} . \vec{v} \leq|\vec{u}| \cdot|\vec{v}|=6 x

\Leftrightarrow(x-3)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x=3

Với x=3: \vec{u}, \vec{v} cùng hướng

Vậy \mathrm{S}=\{3\}

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình có nghiệm \sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=m

Giải

Xét các vecto:

\vec{u}=\left(\frac{1}{2}+x ;-\frac{s q r t 3}{2}\right) ; \vec{v}=\left(\frac{1}{2}-x ; \frac{s q r t 3}{2}\right)

Ta có: \vec{u}+\vec{v}=(1 ; 0) \Rightarrow|\vec{u}+\vec{v}|=1

Dễ dàng thấy được |m|=|| \vec{u}|-| \vec{v}|| \leq|\vec{u}+\vec{v}|=1

Đẳng thức xảy ra khi \vec{u}=\overrightarrow{0} hoắc \vec{v}=\overrightarrow{0} hoăc \vec{u}, \vec{v} ngược hướng

Mà \displaystyle {\vec{u},\vec{v}\ne \vec{0}} (vì \displaystyle {{{y}_{{\vec{u}}}}\ne 0} và \displaystyle {{{y}_{{\vec{v}}}}\ne 0})

Nếu \vec{u}, \vec{v} ngược hướng (VL)

\Rightarrow|m| \neq 1

Vậy phương trình có nghiệm khi m \in(-1 ; 1)

Bài tập tự giải:

1. Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a. \sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{x^{2}-\sqrt{3} x+1}=\sqrt{2}

b. \sqrt{10-3 x-x^{2}}+\sqrt{18-7 x-x^{2}}=\sqrt{77}

c. x \cdot \sqrt{x+1}+\sqrt{3-x} \geq 2 \sqrt{x^{2}+1}

d. \sqrt{x^{2}+2 x}+\sqrt{2 x-1} \geq \sqrt{3 x^{2}+4 x+1}

2. Giải phương trình: \sqrt{x-1}+x-3=\sqrt{2(x-3)^{2}+2 x-2}

3. Giải phương trình: x \sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}-2 \sqrt{x^{2}+1}=0

4. Giải phương trình: \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^{2}-6 x+11

5. Giải phương trình: \sqrt{x^{2}-2 x+5}+\sqrt{x^{2}+2 x+10}=\sqrt{29}

Kiến thức THPT - Tags: , ,