Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định

Phương pháp hệ số bất định dùng để giải các bài toán khó, khi không dùng được những cách phân tích đa thức thành nhân tử đã biết.

Phương pháp này áp dụng phân tích các đa thức phức tạp, bậc cao. Theo dõi ví dụ dưới đây để nắm được cách làm.

Ví dụ 1: x^{4}-6 x^{3}+12 x^{2}-14 x+3

Hướng dẫn giải:

Các số ±1,±3

không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng:

\left(x^{2}+a x+b\right)\left(x^{2}+c x+d\right)=x^{4}+(a+c) x^{3}+(a c+b+d) x^{2}+(a d+b c) x+b d

Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:

\left\{\begin{array}{l}+c=-6 \\ a c+b+d=12 \\ a d+b c=-14 \\ b d=3\end{array}\right.

Xét b d=3 với b, d \in Z, b \in\{\pm 1,\pm 3\}

Với b=3 thì d=1 hệ điều kiện trên trở thành:

\left\{\begin{array}{l}+c=-6 \\ a c=-8 \\ a+3 c=-14 \\ b d=3\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}c=-8 \\ a c=8\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}=-4 \\ a=-2\end{array}\right.\right.\right.

Vậy: x^{4}-6 x^{3}+12 x^{2}-14 x+3=\left(x^{2}-2 x+3\right)\left(x^{2}-4 x+1\right)

Ví dụ 2: 2 x^{4}-3 x^{3}-7 x^{2}+6 x+8

Hướng dẫn giải:

Đa thức có 1 nghiệm là x=2 nên có thừa số là x-2. Do đó ta có:

2 x^{4}-3 x^{3}-7 x^{2}+6 x+8=(x-2)\left(2 x^{3}+a x^{2}+b x+c\right)

=2 x^{4}+(a-4) x^{3}+(b-2 a) x^{2}+(c-2 b) x-2 c

\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}-4=-3 \\ b-2 a=-7 \\ c-2 b=6\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}=1 \\ b=-5 \\ c=-4\end{array}\right.\right.

-2 c=8

Suy ra: 2 x^{4}-3 x^{3}-7 x^{2}+6 x+8=(x-2)\left(2 x^{3}+x^{2}-5 x-4\right)

Ta lại có 2 x^{3}+x^{2}-5 x-4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nhau nên có 1 nhân tử là x + 1. Nên:

2 x^{3}+x^{2}-5 x-4=(x+1)\left(2 x^{2}-x-4\right)

Vây: 2 x^{4}-3 x^{3}-7 x^{2}+6 x+8=(x-2)(x+1)\left(2 x^{2}-x-4\right)

Ví dụ 3: 12 x^{2}+5 x-12 y^{2}+12 y-10 x y-3

Hướng dẫn giải:

Tương tự như ví dụ 1 và 2 ta có:

12 x^{2}+5 x-12 y^{2}+12 y-10 x y-3=(a x+b y+3)(c x+d y-1)

=a c x^{2}+(3 c-a) x+b d y^{2}+(3 d-b) y+(b c+a d) x y-3

\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}ac=12 \\ b c+a d=-10 \\ 3 c-a=5 \\ b d=-12 \\ 3 d-b=12\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ c=3 \\ b=-6 \\ d=2\end{array}\right.\right.

\Rightarrow 12 x^{2}+5 x-12 y^{2}+12 y-10 x y-3=(4 x-6 y+3)(3 x+2 y-1)

Đại số 8 - Tags: , , ,